Skin-Effekt

Der Längswiderstand einer Leitung ist bei Wechselstrom höher, als bei Gleichstrom. Ein von Gleichstrom durchflossener Leiter weist über den ganzen Querschnitt eine konstante Stromdichte auf. Bei einem von Wechselstrom durchflossenen Leiter ist dies nicht mehr der Fall. Ein Wechselstrom erzeugt in einem Leiter ein magnetisches Wechselfeld in- und ausserhalb des Leiters. Das Wechselfeld im Leiter führt dazu, dass elektrische Felder im Leiter induziert werden. Aufgrund dieser elektrischen Felder fliessen Wirbelströme, welche die Stromdichte in der Mitte des Leiters reduzieren und am Rand erhöhen.

Abbildung 1: Induktion von Wirbelströmen in einem von Wechselstrom durchflossenen Leiter basierend auf dem Faradayschen Gesetz. Dabei wird die Stromdichte Jz durch die Wirbelströme in der Mitte abgeschwächt und am Rand verstärkt [1].

Abbildung 1: Induktion von Wirbelströmen in einem von Wechselstrom durchflossenen Leiter basierend auf dem Faradayschen Gesetz. Dabei wird die Stromdichte Jz durch die Wirbelströme in der Mitte abgeschwächt und am Rand verstärkt [1].

Das Innere eines Hochfrequenzleiters ist somit nahezu feld- und stromfrei.

Abbildung 2: Äquivalenter Folienleiter [1].

Abbildung 2: Äquivalenter Folienleiter [1].

Links in Abbildung 2 ist ein Leiter dargestellt, bei welchem die Stromamplitude aufgrund des Skineffekts stark inhomogen ist (exponentielle Stromabnahme in Richtung des Leiterzentrums). Der linke Leiter besitzt den gleichen Widerstand, wie der Leiter rechts, bei welchem der Strom in einer Schichtdicke δ am Rand mit homogener Stromdichte fliesst. Der Gesamtstrom durch beide Leiter ist gleich
I = I1.

Der Abstand vom Leiterrand, bei welchem die Stromdichte auf den Wert 1/e des Spitzenwertes abgefallen ist, wird als Eindringtiefe oder Skintiefe δ bezeichnet und kann wie folgt berechnet werden:

Skintiefe berechnen

Abbildung 3: Flächengleiche rechteckige Schicht der Dicke δ als Modell für die exponentielle Stromabnahme [2].

Abbildung 3: Flächengleiche rechteckige Schicht der Dicke δ als Modell für die exponentielle Stromabnahme [2]

Die elektrische Leitfähigkeit σ ist als Kehrwert des spezifischen Widerstands ρ definiert.

Formel Leitfähigkeit

Der spezifische Widerstand und damit auch die Leitfähigkeit sind temperaturabhängig und werden in der Regel für 20°C angegeben. Bei grösseren Abweichungen von 20°C muss der spezifische Widerstand wie folgt korrigiert werden:

Temperaturkorrektur

Der Temperaturkoeffizient ist mit dem Index ρ versehen, damit er nicht mit der Dämpfungskonstante α in Abbildung 3 verwechselt wird.

Tabelle 1: Leitfähigkeit einiger Leitermaterialien.

Tabelle 1: Leitfähigkeiten einiger Leitermaterialien.

In Tabelle 1 sind die Leitfähigkeiten, die spezifischen Widerstände und die linearen Temperaturkoeffizienten für einige Leitermaterialien aufgelistet. Abbildung 4 zeigt die Eindringtiefen für die Leitermaterialien von Tabelle 1 in Abhängigkeit der Frequenz.

Abbildung 4: Eindringtiefe für verschiedene Leitermaterialien in Abhängigkeit der Frequenz.

Abbildung 4: Eindringtiefe für verschiedene Leitermaterialien in Abhängigkeit der Frequenz.

Nachtrag 1. Februar 2014: In Abbildung 4 ist eine relative Permeabilität von μr=460 für Stahl AISI 1010 berücksichtigt.

Bedeutung des Skin-Effekts für Hochfrequenzanwendungen

Der elektrische Widerstand eines beliebigen Leiters mit der Länge l, mit konstantem Querschnitt A und mit der Leitfähigkeit σ ist

Formel Widerstand

Bei Gleichstrom ist der Strom homogen über den Leiterquerschnitt verteilt. Der Gleichstromwiderstand eines runden Leiters mit dem Durchmesser D ist daher

Formel DC_Widerstand

Bei Wechselstrom fliesst der Strom aufgrund des Skineffekts nur in einer sehr dünnen Schicht der Dicke δ an der Oberfläche des Leiters. Für hohe Frequenzen, bei denn δ<<D vorausgesetzt werden kann, ist der Hochfrequenzwiderstand mit hinreichender Genauigkeit gegeben durch

Forme AC_Widerstand

Bei einem runden Leiter sinkt der Gleichstromwiderstand mit dem Quadrat des Durchmessers (1/D^2). Beim Wechselstromwiderstand steht hingegen nur der Durchmesser im Nenner (1/D). Eine Erhöhung des Durchmessers zur Verringerung des Wechselstromwiderstands ist also deutlich weniger erfolgreich, als beim Gleichstromwiderstand. Der Wechselstromwiderstand eines runden Leiters steigt zudem noch mit der Wurzel der Frequenz an.

Abbildung 5: Anstieg des Wechselstromwiderstands bezogen auf den Gleichstromwiderstand in Abhängigkeit der Frequenz.

Abbildung 5: Anstieg des Wechselstromwiderstands bezogen auf den Gleichstromwiderstand in Abhängigkeit der Frequenz.

Bei hohen Frequenzen gilt

Formel RAC_RDC

Dieser meist unerwünschten Frequenzabhängigkeit des Wechselstromwiderstands von Leitern kann durch den besonderen Aufbau einer HF-Litze entgegengewirkt werden. Die Durchmesser der einzelnen Drähte einer HF-Litze sind kleiner als 2δ, so dass ihr ganzer Querschnitt zur Leitung des Stromes zur Verfügung steht. Sie sind zudem gegeneinander durch eine Lackschicht isoliert und so geführt, dass jeder Draht gleichermassen von der Aussenseite der Litze zu deren Innerem und immer wieder zurück zur Aussenseite verläuft. Durch diesen Aufbau wird erreicht, dass der zur Oberfläche der Litze verdrängte Strom von den Einzelfasern wieder nach innen geführt wird und so der ganze verfügbare Leiterquerschnitt genutzt wird. Bei höheren Frequenzen wird die Stromverteilung über die Streukapazitäten dennoch zur Oberfläche verdrängt. Der Einsatz von HF-Litzen ist darum nur im Frequenzbereich von 100kHz bis ca. 5MHz sinnvoll. Oberhalb von 5MHz überwiegen die Nachteile gegenüber einem einzelnen dicken Draht [3].

Kommt die Eindringtiefe in die Grössenordnung der Oberflächenrauheit steigt die Dämpfung zusätzlich an, da der Strom der rauen Oberfläche folgen muss, was die Weglänge und damit auch den Widerstand um bis zu 20% erhöhen kann.

Abbildung 6: Durch die Oberflächenrauheit verlängert sich der Strompfad um bis zu 20%.

Abbildung 6: Durch die Oberflächenrauheit verlängert sich der Strompfad um bis zu 20%.

Die Eindringtiefe in Silber beträgt bei 1GHz nur noch ca. 2μm. Bei Mikrowellenbauteilen ist es daher ausreichend, die Oberfläche mit einem guten Leiter galvanisch zu veredeln. Die Schichtdicke sollte dabei mindestens 3δ betragen (siehe Abbildung 3). Damit kann beispielsweise ein temperaturstabiles schmalbandiges Filter aus Invar hergestellt werden. Eine galvanische Beschichtung mit Silber ergibt die elektrischen Eigenschaften von Silber (höchstmögliche Güte) kombiniert mit dem sehr kleinen Wärmeausdehnungskoeffizient von ca. 0.6ppm/K von Invar.

Literaturverzeichnis

[1]  Juergen Biela ‚Wirbelstromverluste in Wicklungen induktiver Bauelemente‘, Skriptum Professur für Hochleistungselektronik, http://www.hpe.ee.ethz.ch/

[2]  Klaus Kark ‚Antennen und Strahlungsfelder, Elektromagnetische Wellen auf Leitungen, im Freiraum und ihre Abstrahlung‘  ISBN-10 3-8348-0216-6, ISBN-13 978-8348-0216-3.

[3]  Werner Bächtold ‚Lineare Elemente der Höchstfrequenztechnik‘  ISBN 3-7281-2611-X.

[4]  Jürgen Detlefsen, Uwe Siart ‚Grundlagen der Hochfrequenztechnik‘  ISBN 978-3-486-59131-6.

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